集合论的真理论

将有一些集合论的一阶声明，它们可以做到很好地满足解决整个数学的独立性以及集合论实践的需要，并且这些声明是能够从集合论宇宙的高度以及宽度的最大化中所推导出来。这样的陈述将会被视作是集合论的真实陈述。为了让一个与v=l相存矛盾的一阶声明能够被视为真实，它必须很好地满足集合论实践和解决数学中的独立性的需要，而且它至少必须与最佳最大化标准所表达的集合论宇宙的最大化相一致。

超越一阶

对于与v=l相矛盾的拟议的一阶公理的真实性，永远都不会有共识；且，真正的一阶语句将仅仅是作为真正的非一阶公理的后果来出现。

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即便我们产生了一个很好的公理（这里

指的就是oodin的终极l，它的形式为“一切的大基数，v是l的典型泛化”，这么做也会让我们在一类似于l的环境中进行集合论。实际上，在集合论还有着其他的令人信服的观点，它们会将我们带进非类-l环境，并相应地将我们引向完全不同的第一类公理

：力迫公理有着足以称作是悠久的历史，可以将其上溯到马丁公理，该公理可以用来一次性建立大量的集合论语句的相对一致性。恰当力迫公理是它的一个比较流行的强化，恰当力迫公理将它强化到更广泛的恰当偏序类。而pfa自然和类-l公理是不兼容的。