：研究实数集的组合学特性、可定义理论之时出现了大量的自然的基数，它们是至多为连续统的不可数基数。这些特性提供了一个低于连续统的独特的不可数基数的大谱系。因此连续统的确是相当大，与类-l性以及力迫公理相存矛盾。

因此，我们有三种不同类型的公理，具有出色的2证据：具有大基数的内模型公理、力迫公理和基数特征公理。它们虽然相互矛盾，但每一个都与其他公理的内模型的存在是一致的。这似乎清楚地表明第一类证据不足以确立集合论公理的真实性；它也并不足以决定ch是否为真。

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除了v=l和力迫公理，对集合论之外的数学产生了重大影响之外。大基数公理和基数特征公理的影响十分微小，而adl(r)的影响至今不存在。

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高度/序数最大化。宇宙v是尽可能高的，即序数序列是尽可能长的

宽度/幂集最大化。宇宙v是尽可能宽的，即每个集合的幂集尽可能大的。

假如m是宽度最大的，那么m的一个“增厚”性质在m的某个内部模型中也必须成立。在一阶属性的情况下，这被称作是内模型假设，或是imh。