初等嵌入：模型间存在的一种映射方式。假设存在实体u，语言l。m是语言l的语言模型，如果存在这么一个映射j：v→m，对于任意n元组φ（v_1，v_2，……v_n∈u，且有u?φ，当且仅当b?φ（j_v_1，j_v_2，……j_v_n，我们将其称之为映射j是u到m的初等嵌入。或称u能初等嵌入m中，u与m的一个初等子模型同构，也就是u≡j（u＜m。

莱茵哈特基数其实就是初等嵌入j：v→v的强极限。

伊卡洛斯基数是zfc体系中中一致性的上线，它小于j：vλ+2→vλ+2，大于j：vλ+1→vλ+1，这并不具备在v中所不能见证的极大性，因此伊卡洛斯远不如莱因哈特基数。莱因哈特基数远远小于伯克利基数

众多大基数都有初等嵌入表示形式。比如：

k是不可达基数，当且仅当对每一a?vk，存在一个λ＜k使得：（vλ，∈，anvλ？（vk，∈，a。

？是打不出那个符号

k是弱紧基数，当且仅当（vk，∈，r有一个传递的初等扩张（x，∈，s使得k∈x。

k是可测基数，当且仅当对某个传递模型m存在j：v→m是非平凡初等嵌入且crt（j)＝k。

＃存在，当且仅当存在j：l→l

是非平凡初等嵌入。

假设所有的传递集m都有到自身的非平凡初等嵌入j：m→m，并且这些初等嵌入中总能选出一个，它的关键点crt（jm在某个足够大的基数之下。叫它proto-berkeley基数。

这太过广泛了，寻找特征将特别的proto-berkeley基数找出

对任意固定的传递集m，我们将那些非平凡初等嵌入j：m→m

将它们全部收集起来，记为（m。若a（这里是键盘打不出符号就自己找替代是最小的proto-berkely基数且a∈m，那它可证明那些m到m非平凡初等嵌入的关键点逐步逼近a，也就是sup｛crt(j)：j∈（m｝＝a。因此，对任何比a小的α，总能找到一个m到m的初等嵌入j，crt(j)＞α。

这些特别的proto-berkely基数被称为berkeley基数

定义，a是berkeley基数，当且仅当对任意传递集m，如果a∈m，那么对任意η＜a都存在j∈（m满足η<crt(j)<a。